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Die kuriose Mathematik der Domino-Kettenreaktionen
Sie haben wahrscheinlich den Dominoeffekt in Aktion gesehen, bei dem eine Reihe von stehenden Platten nacheinander umkippt. Normalerweise sind die Dominosteine alle gleich groß, aber ein umfallender Dominostein hat tatsächlich genug Schwung, um einen größeren zu überwinden. So ist es möglich, eine Reihe von sukzessiv größeren Dominosteinen aufzustellen, die zu Beginn durch einen kleinen Steinschlag gestürzt werden können – eine Domino-Kettenreaktion.
Hier also eine interessante Frage. Wie viel größer kann jeder nachfolgende Dominostein sein?
Heute nimmt J. M. J. van Leeuwen von der Universität Leiden in den Niederlanden dieses Problem am Hals und gibt ihm einen guten mathematischen Durchschlag. Es stellt sich heraus, dass die Antwort – der maximale Wachstumsfaktor – nicht ganz so einfach ist, wie das Problem vermuten lässt.
Es gibt verschiedene Videos, wie dieser , im Internet, die den Kettenreaktionseffekt gut demonstrieren. Die Standardüberlegung ist, dass ein Dominostein einen anderen etwa 1,5-mal so groß stürzen kann, vorausgesetzt, der Abstand zwischen ihnen ist optimal.
Die grundlegende Physik ist einfach. Steht ein Domino auf seinem Ende, speichert er eine gewisse Menge potentieller Energie, die durch das Umschieben freigesetzt wird. Allerdings ist die Kraft, die erforderlich ist, um den Dominostein zu stürzen, geringer als die Kraft, die er beim Fallen erzeugt. Es ist diese Kraftverstärkung, die verwendet werden kann, um größere Dominosteine zu stürzen.
Aber der Teufel steckt im Detail, denn die Dominosteine verlieren auf verschiedene Weise Energie, wenn sie umfallen. Zum Beispiel kommt ein umstürzender Dominostein auf seinem Nachbarn zu liegen. Die Kollisionen sind also unelastisch, was die Hauptquelle für verlorene Energie ist. Und in der Praxis können die Dominosteine beim Auftreffen über den Boden rutschen und das Umkippen stark behindern.
Daher macht van Leeuwen in seiner mathematischen Analyse eine Reihe von Vereinfachungen. Er geht davon aus, dass die Reibung zwischen dem Boden und den Dominosteinen praktisch unendlich ist, sodass sie nicht rutschen können. Er geht davon aus, dass die Kollisionen völlig unelastisch sind, so dass die Dominosteine in Kontakt bleiben, wenn sie kollidieren. Er geht auch davon aus, dass die Dominosteine, wenn sie einmal miteinander in Kontakt sind, reibungslos übereinander gleiten.
Unter diesen Annahmen zeigt er dann, dass bei optimalem Abstand jeder nachfolgende Dominostein nicht mehr als etwa doppelt so groß sein kann wie der vorherige, was einem maximalen Wachstumsfaktor von nicht mehr als etwa 2 entspricht.
Das ist deutlich mehr als bisher angenommen. Er räumt ein, dass das Erreichen dieser Grenze in der Praxis wahrscheinlich unrealistisch ist, da die Annahmen nie perfekt gelten können. Dominosteine rutschen beispielsweise immer um einen kleinen Betrag.
Dennoch führt selbst ein Wachstumsfaktor von 1,5 zu einigen außergewöhnlichen Kettenreaktionen. Eine Reihe von 13 Dominosteinen, die mit dieser Geschwindigkeit wachsen, wird die Kraft, die erforderlich ist, um den kleinsten zu drücken, um den Faktor 2 Milliarden verstärken. Und es braucht keine besonders lange Serie, bis die größten Dominosteine die Größe von Wolkenkratzern haben.
Unterhaltsame Mathematik!
Ref: arxiv.org/abs/1301.0615 : Domino-Vergrößerung