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Erste abgeleitete Erhaltungssätze für ein virtuelles Universum
Eine der wichtigsten, mächtigsten und schönsten Ideen der modernen Physik ist der Satz von Noether. Dies besagt im Wesentlichen, dass die grundlegenden Gesetze der Physik eine Manifestation der Symmetrie im Universum sind.
Wenn das Universum also Rotationssymmetrie hat, muss es auch dem Gesetz der Drehimpulserhaltung gehorchen, wenn es eine Zeitsymmetrie hat, muss die Energie erhalten bleiben und so weiter.
Es ist schwer, die tiefe Bedeutung dieses Ansatzes zu unterschätzen. Es scheint das gesamte Gewebe des Universums zu zerreißen, um eine sehr mächtige Schönheit darunter zu enthüllen.
Und doch, schauen Sie sich das Theorem von Noether genauer an und Sie werden bald seine gravierenden Grenzen finden. Es stellt sich heraus, dass dieser Ansatz nur auf bestimmte Arten von Systemen angewendet werden kann, die kontinuierliche Symmetrien aufweisen.
Davon ausgenommen sind insbesondere diskrete Systeme, die Schritt für Schritt vorgehen. Dazu gehören Systeme wie Turing-Maschinen, mit denen ein oder zwei Leser vielleicht vertraut sind.
Nehmen Sie zum Beispiel Conways berühmtes Spiel des Lebens, bei dem mit einem zellularen Automaten lebensechte Formen erzeugt werden können. Dies geschieht auf einem quadratischen Raster, das bei Vierteldrehungen symmetrisch ist, jedoch nicht bei kontinuierlichen Drehungen. Und in dieser Welt schreitet die Zeit in diskreten Schritten statt kontinuierlich voran.
Der Satz von Noether kann offensichtlich nicht angewendet werden. Was passiert also mit den Erhaltungssätzen? Müssen wir im Spiel des Lebens auf Energieerhaltung, Drehimpuls und dergleichen verzichten?
Heute beschäftigen sich Tommasso Tofoli von der Boston University und Silvio Capobianco von der Technischen Universität Tallinn in Estland genau mit diesen Fragen. Ihre Antwort ist eine Art Erleichterung – sie finden eine Familie diskreter Systeme, die einem Noether-ähnlichen Satz gehorchen, und zeigen, warum.
Das von ihnen untersuchte System wird Ising-Spin-Modell genannt. Es ist ein 2D-Array von Elementarmagneten, die jeweils nach oben oder unten zeigen können. Jeder Magnet ist durch das mathematische Äquivalent eines Gummibandes mit seinen vier nächsten Nachbarn verbunden. Das Band wird gedehnt, wenn sich der Nachbar in die entgegengesetzte Richtung dreht und lockert sich, wenn es sich in die gleiche Richtung dreht.
Die Frage, die Toffoli und Capobianco untersuchen, ist, wie sich dieses System verhält, wie die Spins von einem Zustand in einen anderen übergehen, aber zuerst setzen sie der Art der Wechselwirkungen, die auftreten können, eine wichtige Grenze.
Diese Bedingung ist, dass ein Spin nur dann umkehrt, wenn die Summe der potentiellen Energien der vier umgebenden Bindungen unverändert bleibt. Dies kann passieren, wenn zwei der Nachbarn parallele Spins haben, während die anderen beiden antiparallele Spins haben. Diese Art von System wird als mikrokanonisches Ising-Modell bezeichnet.
Dieser Zustand hat wichtige Konsequenzen. Das bedeutet, dass die potentielle Energie immer erhalten bleibt.
Aber wenn man genauer darüber nachdenkt, wird es etwas schwierig, genau festzulegen, was wir unter Energie verstehen. Die Anzahl der Spin-Up- und -Down-Magnete kann sich natürlich dramatisch ändern, so dass dies nicht das ist, was konserviert wird. Die Grenze zwischen ihnen muss jedoch immer gleich lang sein. Wenn wir also die Länge dieser Linie als Energie definieren, dann ist diese natürlich erhalten.
(Natürlich sind die Magnete, Gummibänder und potentiellen Energien keine realen, sondern nur nützliche Denkweisen über dieses System.)
Das mag wie eine willkürliche Definition von Energie erscheinen, aber Toffoli und Capobianco zeigen weiterhin, dass sie die gleichen mathematischen Eigenschaften der Energie im realen Universum hat (die Definition von Energie in unserer Welt ist selbst sehr schwierig).
Natürlich gibt es einen anderen Aspekt dieses Systems, den man leicht vergisst, aber für den Naturschutz entscheidend ist. Dies ist die Struktur der diskreten Raumzeit, in der die gesamte Aktion stattfindet, mit anderen Worten, das 2D-Gitter und die Zeitschritte, über die sich die Veränderung vollzieht.
Der Höhepunkt der Arbeit von Toffoli und Capobianco ist ihre Demonstration, dass Energie nur erhalten werden kann, wenn die Raumzeit invariant ist, dass alle Richtungen und Zeiten in diesem Ising-Universum im Wesentlichen äquivalent sind.
Auf diese Weise zeigen sie, wie ein Noether-ähnlicher Satz in einem diskreten Universum angewendet werden kann.
Das ist enorm wichtig. Dies bedeutet, dass die gleichen Symmetrieregeln, die in der modernen Physik erfolgreich angewendet wurden, auch für die vielen neuen Disziplinen gelten können, die beginnen, diskrete Modelle zu nutzen. Dazu gehören viele Sozialwissenschaften, Komplexitätswissenschaften, Wirtschaftswissenschaften, Webwissenschaften und natürlich der Biggie: Informatik.
Tatsächlich haben diese Jungs Symmetrie verwendet, um zum ersten Mal Erhaltungsgesetze in einer virtuellen Welt abzuleiten.
Aber die Bedeutung geht noch tiefer. Was all diese Disziplinen verbindet, sind Informationen. Sie alle sind Teil eines neuen Schubs in der modernen Wissenschaft, der die oberflächlichen Eigenschaften der physikalischen Realität ignoriert und sich stattdessen auf ein tieferes Fundament konzentriert: die Informationen, auf denen das Universum aufgebaut ist.
Obwohl sie dies nicht ausdrücklich sagen, untersuchen Toffoli und Capobianco die Rolle, die Noether-ähnliche Theoreme in dieser neuen Welt der informationsbasierten Wissenschaft spielen können.
Das wirft natürlich auch viele Fragen auf. Toffoli und Capobianco geben nur ein einziges Beispiel für ein diskretes System, in dem ein Noether-ähnlicher Satz gilt. Was viele Leute wissen wollen, ist, wie dies verallgemeinert werden kann. Kann es zum Beispiel auf Conways Spiel des Lebens angewendet werden?
Toffoli und Capobianco haben jedenfalls einen vielversprechenden Start hingelegt. Wie sie selbst sagen: Dies ist erst der Anfang einer produktiven Forschungsrichtung.
Ref: arxiv.org/abs/1103.4785 : Kann alles aus dem Noether-Theorem für diskrete dynamische Systeme gerettet werden?
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