Wie man die komplexe Mathematik der Vektorrechnung in einfache Bilder umwandelt

Bereits 1948 veröffentlichte die Zeitschrift Physical Review einen Artikel mit dem Titel Raum-Zeit-Ansatz zur Quantenelektrodynamik von einem jungen Physiker namens R. P. Feynman an der Cornell University. Das Papier beschrieb einen neuen Weg zur Lösung von Problemen in der Elektrodynamik unter Verwendung von Matrizen. Heute erinnert man sich jedoch an eine viel leistungsfähigere Erfindung – das Feynman-Diagramm, das dort zum ersten Mal gedruckt erschien.

Feynman-Diagramme haben einen großen Einfluss auf die Physik gehabt. Sie sind bildliche Darstellungen der Mathematik, die die Wechselwirkung zwischen subatomaren Teilchen beschreibt. Mathematisch gesehen ist jede Wechselwirkung eine unendliche Reihe, sodass selbst einfache Wechselwirkungen zwischen Teilchen unglaublich komplex sind, um sie auf diese Weise niederzuschreiben.

Feynmans Genialität bestand darin, diese Reihen mit einfachen Linien in einem grafischen Format darzustellen, was es Wissenschaftlern ermöglichte, auf neue und aufregende Weise über die Teilchenphysik nachzudenken.

Feynman und andere begannen sofort, ihre Ideen mit dieser grafischen Kurzschrift zu erweitern. Tatsächlich schrieb der amerikanische Physiker Frank Wilcjek, der in den 1980er Jahren mit Feynman zusammenarbeitete, einmal: Die Berechnungen, die mir schließlich 2004 den Nobelpreis einbrachten, wären ohne Feynman-Diagramme buchstäblich undenkbar gewesen.

Natürlich sind viele andere Bereiche der Physik auf komplexe Mathematik angewiesen. Und das wirft die interessante Frage auf, ob grafikbasierte Innovationen diese Berechnungen vereinfachen und vielleicht eine neue Ära der Innovation einleiten könnten, so wie es Feynman getan hat.

Hier kommen Joon-Hwi Kim von der Seoul National University in Südkorea und ein paar Kollegen ins Spiel, die eine ähnliche Innovation für die Vektorrechnung entwickelt haben – eine grafikbasierte Abkürzung für eines der gängigsten und leistungsstärksten mathematischen Werkzeuge in der Wissenschaft. Wir gehen davon aus, dass die grafische Vektorrechnung die Barrieren beim Lernen und Üben der Vektorrechnung senken wird, wie es Feynman-Diagramme in der Quantenfeldtheorie getan haben, sagen sie.

Zuerst etwas Hintergrund. Die Vektorrechnung ist das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit dem Differenzieren und Integrieren von Vektorfeldern befasst. Der Grund, warum es in der Physik so wichtig ist, liegt darin, dass mehr oder weniger alles im Universum durch Vektorfelder beschrieben werden kann – elektromagnetische Felder, Gravitationsfelder, Flüssigkeitsströmungen und so weiter.

Aus diesem Grund verbringt jeder Physik- und Ingenieurstudent viele glückliche Stunden damit, sich mit der Mathematik und der dafür erforderlichen geheimnisvollen Notation abzumühen. Das Problem ist, dass Vektorfelder komplizierte Einheiten sind – sie weisen jedem Punkt im dreidimensionalen Raum einen einzelnen Vektor zu und können selbst Repräsentationen komplexerer mathematischer Objekte sein, die als differenzierbare Mannigfaltigkeiten bezeichnet werden. Im einfachsten Fall kann ein Vektorfeld also eine unendliche Liste von Vektoren sein.

Mathematiker stellen diese Felder mit einem Ansatz dar, der als Indexnotation bezeichnet wird. Ein Vektor kann geschrieben werden als zum wo ich = 1, 2 oder 3 im dreidimensionalen Raum. Eine andere Möglichkeit, dies zu schreiben, ist: = [ zu eins, zu zwei, zu 3].

Die Probleme entstehen, wenn diese Größen mathematisch zusammenwirken. Vektorfelder können auf zwei verschiedene Arten mit Skalaren oder miteinander multipliziert werden, bekannt als Skalarprodukt und Kreuzprodukt. Und die Ergebnisse können unglaublich komplex sein – riesige, mehrdimensionale Matrizen.

In all diesen Fällen müssen die Indizes der beteiligten Vektorfelder sorgfältig verfolgt werden. Jeder Physiker weiß, wie leicht es ist, einen Index zu verlieren, und wie mühsam es ist, ihn wiederzufinden

Dann besteht die Herausforderung, herauszufinden, wie sich diese Felder im Laufe der Zeit oder in Bezug auf eine andere Variable ändern. Dies ist das Problem der Differenzierung, für das Physiker eine Reihe von Werkzeugen entwickelt haben, die als Operatoren bekannt sind – das vielleicht berühmteste ist der Operator .

Der Fortschritt, den Kim und Kollegen gemacht haben, besteht darin, eine grafikbasierte Notation zu entwickeln, die die Indexnotation ersetzt. Sie stellen einen Vektor als Kästchen dar, an das eine Linie angehängt ist. Im Gegensatz dazu hat ein Skalar keine Linien, die von ihm ausgehen.

Wenn zwei Vektoren über ein Skalarprodukt miteinander multipliziert werden, ist das Ergebnis eine skalare Größe. Die Notation von Kim und Co erledigt dies automatisch. Bei einem Skalarprodukt verbinden sich die den beiden Vektoren zugeordneten Linien miteinander, wodurch ein Objekt ohne externe Linien entsteht – mit anderen Worten ein Skalar.

Aber ein Kreuzprodukt zwischen zwei Vektoren erzeugt einen anderen Vektor, und die Notation von Kim und Co handhabt dies wiederum automatisch. Die Grafik für ein Kreuzprodukt ist y-förmig, wobei die Linien der beiden Vektoren mit einem dritten verbunden sind, der sich weg erstreckt. Mit anderen Worten, dies bildet einen Vektor.

Dies ist erst der Anfang. Die Forscher beschreiben eine breite Palette anderer mathematischer Werkzeuge, wie den del-Operator, zusammen mit verschiedenen wichtigen Identitäten, die in der Vektorrechnung verwendet werden. Und sie erweitern ihre Ideen auf Tensoren, die komplexere mathematische Objekte mit jeweils zwei oder mehr Indizes sind.

Die Ergebnisse zeigen eine bemerkenswerte Wirtschaftlichkeit. Kim und Co. zeigen, wie ihre Notation komplexe mathematische Ausdrücke in relativ einfache Grafiken umwandelt, genau wie Feynman-Diagramme. Die Sprache ist sehr intuitiv und vereinfacht tensorische Ausdrücke automatisch, heißt es.

Hier liegt ein erheblicher Nutzen. Kim und Co. sagen, dass ihr Ansatz die Vektorfeldrechnung in eine visuelle Aufgabe verwandelt, ähnlich wie das Bauen mit Legosteinen. Als Kind, das mit Lernspielzeug wie Legosteinen oder magnetischen Baustäben spielt, wird es eine unterhaltsame Erfahrung sein, „mit den tanzenden Diagrammen zu kritzeln“, sagen sie. Da Feynman-Diagramme die natürlichste Sprache sind, um den mikroskopischen Prozess von Elementarteilchen zu beschreiben, ist die grafische Notation die kanonische Sprache des Vektorkalkülsystems.

Das ist ein großer Anspruch mit großem Potenzial. Es steht außer Frage, dass Feynman-Diagramme die Art und Weise verändert haben, wie Physiker über Teilchenphysik denken. Aber die Vektorrechnung hat als mathematische Grundlage für einen Großteil der modernen Physik und Technik eine noch größere Reichweite.

Die große Frage ist, wie weit sich die Ideen verbreiten werden. Das wird bestimmen, ob diese grafische Notation eine transformative Veränderung in der Art und Weise auslöst, wie wir über Physik denken, oder eine merkwürdige Fußnote in der Geschichte der mathematischen Erfindung bildet. Feynman wäre jedenfalls amüsiert gewesen.

Ref: arxiv.org/abs/1911.00892 : Boosting Vector Calculus with the Graphical Notation

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