Ein neuronales Netz löst das Drei-Körper-Problem 100 Millionen Mal schneller

Foto-Illustration, die drei Felsen in einem Zen-Garten zeigt Getty Images/Ms. Technik

Im 18. Jahrhundert bestand die große wissenschaftliche Herausforderung der Zeit darin, einen Weg für Seefahrer zu finden, ihre Position auf See zu bestimmen. Eine der erfolgreichsten Lösungen bestand darin, die Position des Mondes am Himmel relativ zum festen Hintergrund der Sterne zu messen.

Aufgrund von Parallaxeneffekten ist diese Messung von der Position des Beobachters abhängig. Und durch den Vergleich der gemessenen Position mit einer Positionstabelle, die für einen Beobachter in Greenwich in England berechnet wurde, konnten Seeleute ihren Längengrad bestimmen.

Es gab jedoch ein Problem. Die Position des Mondes im Voraus zu berechnen ist schwieriger als es scheint. Die Sonne übt eine kleine, aber bedeutende Gravitationskraft auf den Mond aus. Und das macht die Bewegung von Erde, Mond und Sonne zu einem Drei-Körper-Problem, an dem viele Mathematiker vorher und seitdem gescheitert sind.

Die Schwierigkeit besteht darin, dass diese Art von Dreikörperbewegung in allen Ausnahmefällen chaotisch ist. Es gibt also keine einfache Möglichkeit, ihre genauen Positionen in der Zukunft zu berechnen. Dies verursachte Fehler in den Mondnavigationstabellen, die manchmal zu ungenauen und möglicherweise tödlichen Ergebnissen führten.

Trotzdem machten Seefahrer bis Mitte des 19. Jahrhunderts das Beste aus dieser fehlerhaften Technik, als Chronometer billig und genau genug wurden, um an Bord von Schiffen weit verbreitet zu sein. Schließlich wurde die Chronometer-Methode, die berühmt von John Harrison entwickelt wurde, zur bevorzugten Methode zur Berechnung des Längengrads.

Das Drei-Körper-Problem verfolgt die Mathematiker jedoch weiterhin. Heutzutage besteht das Problem darin, die Struktur von Kugelsternhaufen und galaktischen Kernen zu bestimmen, die davon abhängen, wie Doppelsterne von Schwarzen Löchern mit einzelnen Schwarzen Löchern interagieren.

Das Aufkommen leistungsfähiger Computer ermöglicht es Mathematikern, die Positionen dieser Schwarzen Löcher iterativ zu berechnen. Aber es erfordert enorme Rechenressourcen, und selbst dann bleiben einige Lösungen außerhalb ihrer Reichweite. Daher wird dringend ein neuer, leistungsfähigerer Weg zur Lösung des Dreikörperproblems benötigt.

Darunter sind Philip Breen von der University of Edinburgh und ein paar Kollegen, die ein neuronales Netz darauf trainiert haben, solche Lösungen zu berechnen. Ihre große Neuigkeit ist, dass ihr Netzwerk genaue Lösungen zu festen Rechenkosten und bis zu 100 Millionen Mal schneller als ein hochmoderner herkömmlicher Solver liefert.

Sie beginnen mit einer typischen Trainingsmethode für neuronale Netze. Dies erfordert eine Datenbank von Dreikörperproblemen, deren Lösungen von einem modernen Löser berechnet werden.

Breen und Co. vereinfachen zunächst das Problem, indem sie es auf drei Teilchen mit gleicher Masse in einer Ebene beschränken, von denen jedes zunächst eine Geschwindigkeit von Null hat. Sie wählen die Startpositionen zufällig und lösen die Dreikörperbewegung mit einem hochmodernen Ansatz namens Brutus. Diesen Vorgang wiederholen sie dann 10.000 Mal.

Das Team verwendet 9.900 Beispiele, um sein neuronales Netzwerk zu trainieren, und 100, um es zu validieren. Schließlich testen sie das Netzwerk mit 5.000 völlig neuen Situationen und vergleichen die Vorhersagen mit den von Brutus berechneten.

Die Ergebnisse sorgen für eine interessante Lektüre. Das neuronale Netzwerk sagt die zukünftige Bewegung von drei Körpern genau voraus und emuliert insbesondere die Divergenz zwischen nahegelegenen Trajektorien korrekt, was den Brutus-Simulationen sehr nahe kommt. Wir haben gezeigt, dass tiefe künstliche neuronale Netze schnelle und genaue Lösungen für das rechentechnisch anspruchsvolle Drei-Körper-Problem über ein festes Zeitintervall liefern, sagen Breen und Co.

Darüber hinaus testen sie die Vorhersagen des neuronalen Netzwerks, indem sie überprüfen, wie gut sie Energie sparen. Mit ein paar Anpassungen erfüllen die Vorhersagen des Netzwerks die Energiesparbedingungen mit einem Fehler von nur 10-5.

Das ist ein beeindruckendes Ergebnis, das erhebliches Potenzial hat. Breen und Co. sagen insbesondere, dass das neuronale Netzwerk dabei helfen könnte, Drei-Körper-Probleme in Situationen zu lösen, die für Brutus rechnerisch undurchführbar werden.

Ihre Vision ist es also, ein Hybridsystem zu schaffen. In diesem Fall übernimmt Brutus die ganze schwere Arbeit, aber wenn die Rechenlast zu groß wird, springt das neuronale Netzwerk ein, bis es wieder akzeptabel ist.

So sollen neuronale Netze es ermöglichen, die Bewegung von Schwarzen Körpern im Inneren von Galaxienkernen und Kugelsternhaufen viel genauer als je zuvor zu simulieren.

Und das ist erst der Anfang. Letztendlich stellen wir uns vor, dass dieses Netzwerk auf reichhaltigere chaotische Probleme wie das 4- und 5-Körper-Problem trainiert werden kann, wodurch die Rechenlast noch weiter reduziert wird, sagen Breen und Co.

Ref: arxiv.org/abs/1910.07291 : Newton vs The Machine: Lösung des chaotischen Drei-Körper-Problems mit Deep Neural Networks

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